TALES DE MILETO

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 - 545 a. C.1) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.2 Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

Aportes como matemático

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

Tales nació en la ciudad de Mileto (griego: Μίλητος literalmente Miletos,turco: Milet), una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor (en lo que actualmente es la Provincia de Aydın en Turquía), cerca de la desembocadura del río Menderes.

Pensamiento y obra

En tiempos de Tales, los griegos explicaban el origen y naturaleza del cosmos con mitos de héroes y dioses antropomórficos.

La explicación de la Naturaleza

La filosofía griega inició con una pregunta por la naturaleza (physis), en la búsqueda de aquellos principios últimos (tierra, agua, aire, fuego, átomos, etc.) que son la explicación última de las cosas. Los primeros filósofos griegos veían en la tierra, el agua, el aire y el fuego los elementos fundamentales a partir de los cuales se generan todos los demás elementos del universo, es decir, el origen. También pensaban que de estos principios constan todos los seres del universo, es decir, que son el sustrato. Por último, esos elementos fundamentales también debían poder explicar las transformaciones que acontecen en el universo, es decir, dar a entender la verdadera causa de los eventos.

Teorema de Tales

Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C

 Los dos teoremas de Thales

Semicírculo que ilustra un teorema de Thales.

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos recto

Primer Teorema

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Segundo teorema
Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos OA , OB y OCson iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.

Aplicación (Thales - Teorema Segundo)

Construcción de tangentes (líneas rojas) a una circunferenciak desde un punto P, utilizando el «teorema segundo de Tales».

El “teorema segundo” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura ).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.