INTRODUCCION

Uno de los objetivos de este proyecto de matemáticas  de la geometría es,

“… el desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sistemas  numéricos, geométricos, lógicos, analíticos, de conjunto de operaciones y relaciones, así como para su utilización en la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, de la tecnología y de la vida cotidiana.

Este trabajo pretende desarrollar en la práctica uno de los objetivos  en el sentido de hacer de las matemáticas, una asignatura más “amena” para todo los estudiantes, partiendo básicamente del interés que cada joven  demuestre por ella, aplicando elementos de la lúdica que permitan una enseñanza mucho más productiva, mediante la percepción del entorno y la aplicación de técnicas para el diseño, elaboración y socialización del material didáctico, por cada uno de los estudiantes para el desarrollo de sus competencias matemáticas.

La Geometría

El término viene del griego “geos” que quiere decir Tierra y “métrica” que significa medir, medir la Tierra literalmente, es una rama de la matemática que se dedica al estudio de las figuras que una persona puede realizar en el plano y el espacio. El cálculo, el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales tienen su principio en la geometría. De allí sus aplicaciones en química (geometría molecular), física (cinemática), cartografía, astronomía y otras ciencias.

En sus orígenes era un cuerpo de conocimientos prácticos sobre la obtención de las propiedades de los cuerpos geométricos que se podía aplicar a la cartografía, construcción y la astronomía. Según los griegos en Egipto estaba muy desarrollada, cosa que demuestra la impresionante arquitectura de la época que sin un cuerpo de conocimientos robusto en geometría no hubiera sido.

La Geometría

El término viene del griego “geos” que quiere decir Tierra y “métrica” que significa medir, medir la Tierra literalmente, es una rama de la matemática que se dedica al estudio de las figuras que una persona puede realizar en el plano y el espacio. El cálculo, el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales tienen su principio en la geometría. De allí sus aplicaciones en química (geometría molecular), física (cinemática), cartografía, astronomía y otras ciencias.

En sus orígenes era un cuerpo de conocimientos prácticos sobre la obtención de las propiedades de los cuerpos geométricos que se podía aplicar a la cartografía, construcción y la astronomía. Según los griegos en Egipto estaba muy desarrollada, cosa que demuestra la impresionante arquitectura de la época que sin un cuerpo de conocimientos robusto en geometría no hubiera sido.

Sistema de Numeración Egipcia

Aplicación Matemática en la Civilización Maya

Herón de Alejandría

Herón (o Hero) de Alejandría (en griego: Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς) (ca. 10–70 d. C.) fue un ingeniero y matemático helenístico, que destacó en Alejandría (en la provincia romana de Egipto); ejerció de ingeniero en su ciudad natal, Alejandría. Este griego es considerado uno de los científicos e inventores más grandes de la antigüedad1 y su trabajo es representativo de la tradición científica h

Contexto histórico y Cultural

Tras el período helenístico, la ciencia helénica destacó en la ciudad de Alejandría, perdurando varios siglos (hasta la caída del Imperio romano), donde surgieron periódicamente destellos de genialidad. Uno de estos genios fue Herón, que demostró una actitud pre moderna para la mecánica, descubriendo, aunque de forma arcaica, la ley de acción y reacción. Se basó a menudo en Ctesibio, inventor griego del siglo III antes de nuestra era, de quien se tienen noticias por el propio Herón y por Vitrubio. Describió gran número de máquinas sencillas y generalizó el principio de la palanca de Arquímedes. Ideó múltiples trabajos de inventiva y aportó muchas innovaciones en el campo de los autómatas.

Eolípila de Herón.

Su mayor logro fue la invención de la primera máquina de vapor, conocida como eolípila, y la Fuente de Herón. Es autor de numerosos tratados de mecánica, como La neumática donde estudia la hidráulica, 

FÓRMULA DE HERÓN

donde s es el Su logro más destacado en el campo de la geometría es la denominada fórmula de Herón, donde establece la relación entre el área de un triángulo y la longitud de sus lados:

«En un triángulo de lados a, b, c, y semiperímetro s=(a+b+c)/2, su área es igual a la raíz cuadrada.

Triángulo de lados a, b, c.

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c: 

 semiperímetro:

la fórmula puede reiscriirse de la siguiente forma:

triangulo de lados a,b,c.

NIKOLÁI LOBACHEVSKY

Entre sus principales logros se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con el cálculo tensorial aplicados a vectores en el espacio de Hilbert.

Fue uno de los primeros matemáticos que aplicó un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de la geometría euclidiana.

Nació en Nizhni Nóvgorod y estudió en la Universidad de Kazán. Enseñó en Kazán desde 1812 hasta 1846, y llegó a ser profesor de matemáticas en 1823.

Entre sus principales logros se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con el cálculo tensorial aplicados a vectores en el espacio de Hilbert.

propuso un sistema geométrico basado en la hipótesis del ángulo agudo, según la cual, en un plano, por un punto fijo pasan al menos 2 paralelas a una recta -en realidad tal solución da noción de la existencia de triángulos curvos.

Geometría Elíptica

es el segundo tipo de geometría no-euclídea homogénea, es decir, donde cualquier punto del espacio resulta indistinguible de cualquier otro. Una variedad de Riemann de curvatura positiva constante es un ejemplo de geometría elíptica. Un modelo clásico de geometría elíptica n-dimensional es la n-esfera.

En la geometría elíptica las líneas geodésicas tienen un papel similar a las líneas rectas de la geometría euclídea, con algunas importantes diferencias. Si bien la mínima distancia posible entre dos puntos viene dada por una línea geodésica, que además son líneas de curvatura mínima, el quinto postulado de Euclides no es válido para la geometría elíptica, ya que dada una "recta" de esta geometría (es decir, una línea geodésica) y un punto no contenido en la misma no se puede trazar ninguna geodésica que no corte a la primera.

TALES DE MILETO

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 - 545 a. C.1) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.2 Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

Aportes como matemático

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

Tales nació en la ciudad de Mileto (griego: Μίλητος literalmente Miletos,turco: Milet), una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor (en lo que actualmente es la Provincia de Aydın en Turquía), cerca de la desembocadura del río Menderes.

Pensamiento y obra

En tiempos de Tales, los griegos explicaban el origen y naturaleza del cosmos con mitos de héroes y dioses antropomórficos.

La explicación de la Naturaleza

La filosofía griega inició con una pregunta por la naturaleza (physis), en la búsqueda de aquellos principios últimos (tierra, agua, aire, fuego, átomos, etc.) que son la explicación última de las cosas. Los primeros filósofos griegos veían en la tierra, el agua, el aire y el fuego los elementos fundamentales a partir de los cuales se generan todos los demás elementos del universo, es decir, el origen. También pensaban que de estos principios constan todos los seres del universo, es decir, que son el sustrato. Por último, esos elementos fundamentales también debían poder explicar las transformaciones que acontecen en el universo, es decir, dar a entender la verdadera causa de los eventos.

Teorema de Tales

Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C

 Los dos teoremas de Thales

Semicírculo que ilustra un teorema de Thales.

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos recto

Primer Teorema

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Segundo teorema
Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos OA , OB y OCson iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.

Aplicación (Thales - Teorema Segundo)

Construcción de tangentes (líneas rojas) a una circunferenciak desde un punto P, utilizando el «teorema segundo de Tales».

El “teorema segundo” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura ).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.